Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

¿Qué es el mínimo común múltiplo (mcm)?

El mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números, se calcula multiplicando los factores con bases comunes y no comunes al mayor exponente

El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos comunes.

Cómo calcular el mínimo común múltiplo

Se pueden utilizar dos métodos.

1. El primer método para calcular el mcm es el que hemos utilizado antes, es decir, escribimos los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean comunes y elegimos el múltiplo común más pequeño.
2. Ahora vamos a explicar el segundo método para calcular el mcm. Lo primero que hay que hacer es descomponer en factores primos cada número. Después tendremos que elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y por último, tendremos que multiplicar los factores elegidos.

Vamos a ver un ejemplo de esto, calculando el mcm de 12 y de 8.

Vamos a descomponer 12 y 8 en factores primos:

12 = 22 x 3

8 = 23

Ahora elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, por lo tanto, elegimos 23 y el 3.

Y por último los multiplicamos, por lo tanto 23 x 3 = 8 x 3 = 24

Así que el mcm ( 12 , 8 ) = 24

El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos comunes.

Cómo calcular el mínimo común múltiplo

Se pueden utilizar dos métodos.

1. El primer método para calcular el mcm es el que hemos utilizado antes, es decir, escribimos los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean comunes y elegimos el múltiplo común más pequeño.
2. Ahora vamos a explicar el segundo método para calcular el mcm. Lo primero que hay que hacer es descomponer en factores primos cada número. Después tendremos que elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y por último, tendremos que multiplicar los factores elegidos.

Vamos a ver un ejemplo de esto, calculando el mcm de 12 y de 8.

Vamos a descomponer 12 y 8 en factores primos:

12 = 22 x 3

8 = 23

Ahora elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, por lo tanto, elegimos 23 y el 3.

Y por último los multiplicamos, por lo tanto 23 x 3 = 8 x 3 = 24

Así que el mcm ( 12 , 8 ) = 24

Vídeo mínimo común múltiplo

Para repasar el contenido de este post, te recomiendo que veas este vídeo tutorial sobre el mínimo común múltiplo.

Ahora a continuación explicare El Máximo Común Divisor (MCD)

Se denomina máximo común divisor o MCD al mayor número que divide exactamente a dos o más números a la vez. Como hablamos del mayor número solo tendremos en cuenta los divisores positivos. Se calcula multiplicando los factores con bases comunes al menos exponente.

También podemos decir que el máximo común divisor de dos números «A» y «B», es el número mayor que los divide a los dos, tanto al número A como al número B.

Por ejemplo, diremos que el máximo común divisor de 18 y 24 es 6, porque 6 es el mayor de los divisores comunes de 18 y 24 y lo escribimos MCD (18,24) = 6

Vídeo sobre el máximo común divisor

Para qué se usa el máximo común divisor

Una de las utilidades que tiene el máximo común divisor es simplificar fracciones.

Por ejemplo, para simplificar la fracción 12/18, se calcula primero el Máximo Común Divisor de 12 y 18 que es 6.

Después tenemos que dividir el numerador y el denominador de la fracción inicial entre 6 para obtener la fracción simplificada que es 2/3.

MCD para calcular el mínimo común múltiplo (mcm)

El máximo común divisor también se puede utilizar para calcular el mínimo común múltiplo de dos números, su mcm.

Esto es porque el producto del máximo común divisor de dos números por el mínimo común múltiplo (de los mismos números) es igual al producto de esos dos números.

Veámoslo con un ejemplo. Como hemos dicho antes MCD (12,18) = 6 como 12 × 18 = 216, su mínimo común múltiplo tiene que ser 36 porque 6 × 36 = 216.

MCD para resolver problemas

Sin duda, para lo que más vas a utilizar el MCD es para resolver problemas.

Ahora, vamos a explicar algunos de los conceptos que se emplean para calcular el MCD de varios números, es importante aprenderlos para que nos sean familiares y sepamos en cada momento de lo que estamos hablando.

Divisor

El divisor de un número es el valor que divide al número en partes exactas, es decir, que el resto sea cero.

Vamos a ver un ejemplo de esto:

Primero, calculamos los divisores de 15:

• 15 / 1 = 15, por lo que 1 y 15 son divisores de 15.
• 15 / 2 = 7, el resto es 1, por lo que 2 no es divisor de 15.
• 15 / 3 = 5, por lo que 3 y 5 son divisores de 15.
• 15 / 4 = 3, el resto es 3, por lo que 4 no es divisor de 15.

Ahora deberíamos dividir entre 5 pero como ya lo tenemos como divisor, ya hemos acabado de calcular los divisores de 15.

Por tanto, los divisores de 15 son: 1, 3, 5 y 15.

También vamos a calcular los divisores de 20:

• 20 / 1 = 20, por lo que 1 y 20 son divisores de 20.
• 20 / 2 = 10, por lo que 2 y 10 son divisores de 20.
• 20 / 3 = 6, el resto es 2, por lo que 3 no es un divisor de 20.
• 20 / 4 = 5, por lo que 4 y 5 son divisores de 20.

Ahora deberíamos dividir entre 5 pero como ya lo tenemos como divisor, ya hemos acabado de calcular los divisores de 20.

Es decir, los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisor común

Es un número que es divisor a la vez de dos o más números, es decir, es un divisor común a esos números.

Si seguimos con el ejemplo anterior, en el que hemos calculado los divisores de 15 y de 20, ahora vamos a ver cuáles son los divisores comunes.

Divisores de 15: 1, 3, 5 y 15.

Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

¿Qué divisores tienen en común 15 y 20?

En este caso, si te fijas, los divisores comunes que tienen 15 y 20 son el 1 y el 5.

Máximo común divisor

Como hemos visto al inicio del post, el máximo común divisor es el número mayor entre los divisores comunes.

Vamos a ver cuál es el máximo común divisor del ejemplo anterior, el MCD (15,20).

Divisores de 15: 1, 3, 5 y 15.

Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Ya sabes que los divisores comunes de 15 y 20 son el 1 y el 5, ahora de entre esos dos números (1 y 5) tienes que elegir el número mayor, que es el 5. Por lo que, el máximo común divisor de 15 y 20 es 5.

Cómo hacer el máximo común divisor

Para saber cuál es el máximo común divisor de dos o más números existen varios métodos, vamos a ver dos.

Método 1 para calcular el MCD

Es el que venimos utilizando en los ejemplos de más arriba. Para ello es importante fijarnos muy bien lo que significa máximo común divisor.

• Escribimos todos los divisores de cada número, y de éstos señalamos los divisores comunes.
• El divisor mayor será el MCD de esos números.

El inconveniente de este método es que un número grande puede tener muchos divisores y escribirlos todos puede ser muy pesado. La ventaja que tiene es que si lo tienes en cuenta, a veces no tendrás que calcular nada, fíjate, si te piden el máximo común divisor de tres números y resulta que uno divide a los demás, ya tienes el máximo común divisor. Por ejemplo, el máximo común divisor de 36, 12, y 84. Como 12 divide a los tres, no podrá haber ningún divisor común mayor.

Método 2 para calcular el MCD

Descomposición de factores o descomposición en números primos.

• Descomponemos cada número en factores primos.
• Después, señalamos los factores comunes.
• A continuación, en cada uno de los comunes, escogemos el factor con menor exponente.
• Y, por último, multiplicamos los factores elegidos.

Vamos a ver un ejemplo:

Calculamos el M.C.D de 8 y 12.

https://www.smartick.es/blog/matematicas/multiplicaciones-y-divisiones/minimo-comun-multiplo-mcm/