Guia de Ejercicios Resueltos

         

       GUIA DE EJERCICIOS RESUELTOS

             

1. Alan y Pedro comen en la misma taquería, pero Alan asiste cada 20 días y Pedro cada 38. ¿Cuándo volverán a encontrarse?

Suponemos que el día 0 es el primer día en que coinciden, entonces:

• Alan asiste el día 20, el día 40, el día 60... Estos días son los múltiplos de 20.
• Y Pedro asiste el día 38, el día 76, el día 114... que son los múltiplos de 38.

Ambos coinciden cuando asisten el mismo día, es decir, cuando asisten un día que es múltiplo de 20 y de 38. Además, el primer día que coinciden es el mínimo de los múltiplos comunes.

Por tanto, debemos calcular el mínimo común múltiplo.

Descomponemos los números para escribirlos como producto de potencias de números primos:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Por tanto, volverán a encontrarse dentro de 380 días. Es decir, dentro de más de 1 año.

2.  David tiene 24 dulces para repartir y Fernando tiene 18. Si desean regalar los dulces a sus respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la mayor posible,

• ¿cuántos dulces repartirán a cada persona?
• ¿a cuántos familiares regalará dulces cada uno de ellos?

 

El número de dulces que tienen que dar a cada persona debe dividir a las cantidades de dulces porque deben dar dulces enteros y no a trozos. Es decir, debe ser un divisor común de 24 y de 18.

Además, como la cantidad debe ser máxima, debe ser el mayor divisor común.

Descomponemos los números:

El M.C.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»:

Por tanto, cada familiar recibirá 6 dulces.

Como David tiene 24 dulces y dará 6 a cada familiar, los repartirá entre 4 personas

 (24/6 = 4) Y como Fernando tiene 18 dulces, repartirá entre 3 personas (18/6 = 3).

3. Andrés tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible.

• ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá?
• ¿Cuánto debe medir cada trozo?

·         Para poder cortar ambas cuerdas en trozos iguales, la longitud de los trozos debe dividir la longitud de ambas cuerdas. Es decir, debe ser un divisor de 120 y de 96.

·         Además, esta longitud debe ser la máxima. Por tanto, debemos calcular el M.C.D. de las longitudes.

·         Descomponemos los números:

·         El M.C.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»:

·         Por tanto, todos los trozos de cuerda deben medir 24 metros. De la cuerda de 120 metros obtendrá 120/24 = 5 trozos y de la cuerda de 96 metros obtendrá 96/24 = 4 trozos.

 

4. Simón tiene una pista de carreras con dos autos. El primer auto le da una vuelta completa a la pista en 31 segundos y el segundo lo hace en 17 segundos.

Carlos también tiene su pista de carreras con dos autos, pero el primero da una vuelta completa en 36 segundos y el segundo en 42 segundos.

Como Carlos siempre pierde cuando juegan, propone a Simón que el ganador sea quien tenga en su pista sus dos autos situados en la meta al mismo tiempo. ¿Quién ganará?

 

Primero calculamos, en cada pista, cuándo coinciden los dos autos. Para ello, calculamos el m.c.m. de los tiempos. Después, comparamos los tiempos para saber cuál es menor.

Calculamos el m.c.m. de los tiempos de los autos de Simón:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Por tanto, en la pista de Simón los autos coincidirán en la meta cada 527 segundos.

Ahora repetimos el proceso para los autos de Carlos:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Por tanto, los autos de Carlos coincidirán en la meta cada 252 segundos.

Luego Carlos ganará porque sus autos coincidirán en la meta antes que los de Simón.

5. Máximo quiere pintar una casa pequeña. Según sus cálculos, necesitará:

• 12 litros de pintura roja,
• 24 litros de pintura verde y
• 16 litros de pintura blanca.

Pero Máximo quiere comprar botes de pintura que tengan la misma cantidad de litros y que el número de botes sea el menor posible.

• ¿De cuántos litros debe ser cada bote de pintura?
• ¿Cuántos botes de cada color debe comprar?

 

Las sumas de los litros de los botes de color rojo, verde y blanca deben ser 12, 24 y 16, respectivamente. Como todos los botes deben tener la misma capacidad, dicha capacidad debe dividir a 12, 24 y 16. Además, como quiere tener la mínima cantidad de botes, cada bote debe tener capacidad máxima. Por tanto, tenemos que calcular el M.C.D. de 12, 24 y 16.

Factorizamos los números:

El M.C.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»:

Por tanto, cada bote debe tener una capacidad de 4 litros.

Para calcular cuántos botes de cada color necesita Máximo, sólo tenemos que dividir entre 4:

6. Un sitio turístico en el Caribe ofrece tres diferentes cruceros:

• Opción 1: tarda 6 días en ir y regresar a su punto de inicio,
• Opción 2: tarda 8 días en ir y regresar a su punto de inicio y
• Opción 3: tarda 10 días en ir y regresar a su punto de inicio.

Si los tres cruceros partieron al mismo tiempo hace 39 días, ¿cuántos días faltan para que vuelvan a partir el mismo día todos los cruceros?

 

 Calculamos el m.c.m. para saber cada cuántos días los cruceros coinciden. Aunque tenemos tres números en lugar de dos, el procedimiento es el mismo.

Factorizamos los números:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Por tanto, sabemos los tres cruceros parten a la vez que cada 120 días. Pero como la última vez que coincidieron fue hace 39 días, la próxima coincidencia será dentro de

7. Daniel y Matías compraron 40 y 32 caramelos, respectivamente, para una fiesta de cumpleaños. Quieren repartirlos entre todos los invitados de modo que:

• Tanto Daniel como Matías dan el mismo número de caramelos a cada persona.
• Todos los invitados han de tener el mismo número de caramelos y éste ha de ser máximo.
• Cada invitado sólo puede recibir caramelos de Daniel o de Matías, pero no de ambos.

Calcular el número máximo de invitados que deben asistir para que ninguno se quede sin caramelos.

 

Como Daniel y Matías deben dar el mismo número de caramelos a cada persona, dicho número debe ser divisor de sus respectivas cantidades de caramelos. Además, como la cantidad debe ser máxima, tenemos que calcular el M.C.D.

Factorizamos los números:

El M.C.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»:

Por tanto, el número de caramelos por persona es 8. Para saber a cuántas personas pueden invitar, debemos sumar las cantidades de caramelos y dividirlas entre el M.C.D.:

 Daniel dará 8 caramelos a 5 de los invitados (8·5 = 40) y Matías dará 8 caramelos a otros 4 invitados (8·4 = 32).

8. Calcular la potencia dos elevado a menos tres:

 

₂^-3

Como el exponente es negativo, primero escribimos la potencia como una fracción: el numerador es 1 y el denominador es la potencia sin el signo negativo del exponente. Luego, calculamos la potencia del denominador:

9. Calcular la potencia cuyo exponente es menos tres y cuya base es la potencia dos al cuadrado:

                                                  (2²)^-3

 

Tenemos la potencia de una potencia. Por tanto, multiplicamos ambos exponentes y mantenemos la base. No olvidemos el signo negativo del exponente:

Hemos escrito la potencia como una fracción para eliminar el signo negativo del exponente.

 

 

10. Calcular el siguiente cociente de potencias con la misma base:

Como las bases de las potencias son iguales, la regla dice que se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador). Se obtiene un exponente negativo: