Operaciones en Z y Q
NUMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros está conformado
por los enteros negativos, el cero, y los enteros positivos.
El conjunto de los números se representa con la
letra Z. Por lo tanto:
Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Los números negativos se utilizan:
§ Para indicar deudas.
§ Profundidades bajo el nivel del mar
§ Para indicar temperaturas bajo cero.
§ En matemáticas para indicar desplazamientos hacia
la izquierda o hacia debajo de un punto referencial.
VALOR
ABSOLUTO
La distancia de cero a un número se llama valor
absoluto.
El valor absoluto de un número diferente de cero es
el mismo número entero, pero sin signo.
Para representar esas distancias se acostumbra a colocar el número entre dos líneas verticales así:
Representa la distancia desde cero hasta -5
+5 la distancia desde cero hasta +5
Además, como ambas representaciones significan la
distancia 5 , se obtiene la siguiente igualdad.
= +5 =
5
Se lee: valor absoluto de –5 es igual al calor
absoluto de +5 es igual a 5.
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LOS NUMEROS ENTEROS
Representamos
los números enteros sobre una recta, en la cual marcamos un punto de origen y
le asignamos el 0.
A continuación, los puntos ubicados a la derecha del
origen les asignamos los números +1, +2, +3 , . . .
A los puntos que quedan a la izquierda del origen
les asignamos los números -1, -2, -3, . . .
PROPIEDAD CONMUTIVA
La
suma de dos o más números enteros no depende del orden de los términos; es
decir:
Si a, b Є Z entonces a + b =
b +a
Veamos dos ejemplos
1) (-80) + (+25) = (+25) + (-80)
-55 = -55
2) (-200) + (+50) + (-30) = (-30) + (-200) + (+50)
-180 = -180
PROPIEDAD ASOCIATIVA
La suma de tres p más números enteros no depende de
la forma en que se asocien sus términos; es decir:
Si a, b, c Є Z entonces a +( b
+ c ) = ( a + b ) + c
1) [ (-8) + (+10)] + (-20) = (-8) + [ (+10) + (-20)
]
[+2] + (-20) = (-8) + [-10]
-18 = -18
1) [ (+100) + (+30)] + (-200) = (+100) + [ (+30) +
(-200) ]
[+130] + (-200) = (+100) + [-170]
-70 = -70
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
ELEMENTO NEUTRO
La suma de cualquier número entero con el 0 es el
mismo número entero; es decir:
Si
a, b Є Z entonces a + 0 = 0 + a = a
1) (-10) + 0 + 0 + 0 + 0 = -10
2) (+100) + (-500) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 =-400
INVERSO ADITIVO
Para todo número entero “a” existe un número entero
“-a” llamado inverso aditivo.
La suma de un número entero y su inverso aditivo es
el número entero cero, es decir:
a + (-a) = (-a) + a = 0
1) (+3) + (-3) = 0
2) (-500) + (+500) = 0
SUMA DE NUMEROS ENTEROS
Al sumar números enteros se pueden considerar
cuatro casos
1. Los dos números
sean positivos.
2. Un número es positivo y el otro negativo.
3. Los dos números sean negativos.
4. Suma de varios números enteros.
LOS DOS NÚMEROS SEAN POSITIVOS.
Para
sumar dos números enteros positivos se suman sus valores absolutos y les
colocamos el signo ( + ).
NOTA: Por acuerdo en matemáticas cuan el primer término de una suma de números
enteros es positivo no es necesario colocarle el signo ( + ).
Veamos
dos ejemplos.
1) (+3) + (+5) = 10
2) (+20) + (30) = 50
UN NÚMERO ES POSITIVO Y EL OTRO NEGATIVO
Para
sumar dos números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y a
la diferencia se coloca el signo que tenga mayor valor absoluto.
Veamos
dos ejemplos.
1) (-50) + (+30) = -20
2) (+70) + (-15) = 55
LOS DOS NÚMEROS SEAN NEGATIVOS.
Para sumar dos números enteros negativos se suman
sus valores absolutos y al resultado le colocamos el signo ( - ).
Veamos dos ejemplos.
1) (-60) + (-40) = -100
2) (-800) + (-200) = -1000
SUMA DE VARIOS NÚMEROS ENTEROS.
Para
sumar varios números enteros, tanto positivos como negativos, hacemos lo
siguiente:
1. Sumamos aparte los
enteros negativos.
2. Sumamos aparte los
enteros negativos.
3. Sumamos los dos
resultados obtenidos: con el signo que tenga mayor valor absoluto.
Veamos
dos ejemplos
1) (+10) + (-30) + (-80) + (+40) + (-100) =
Sumemos
los números positivos.
(+10) + (+40) = 50
Sumemos
los números negativos.
(-30) +(-80) + (-100) = -210
Ahora
sumemos los resultados parciales.
(-210) + (+50) = -160
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